givens_decomposition_slater

givens_decomposition_slater(orbital_coeffs)

Descompone los orbitales ocupados de un determinante de Slater en rotaciones de Givens.

Esta es la versión rectangular de givens_decomposition(), especializada en la preparación de estados mediante el determinante de Slater. A partir de la matriz de coeficientes de los orbitales ocupados de un determinante de Slater, devuelve una secuencia de rotaciones de Givens que, al aplicarlas a la configuración de referencia $\lvert 1 \cdots 1 0 \cdots 0 \rangle$ (los primeros orbitales ocupados $m$ ), dan como resultado el determinante de Slater. Aquí orbital_coeffs tenemos una matriz de tipo « $m \times n$ », cuyas filas son los orbitales ocupados $m$ expresados en una base de orbitales espaciales $n$ ( $m \le n$ ); se supone que sus filas son ortonormales.

A diferencia de givens_decomposition(), esta descomposición solo necesita representar los orbitales ocupados $m$ en lugar de una rotación orbital completa $n \times n$, por lo que utiliza como máximo $m (n - m)$ rotaciones de Givens dispuestas en forma de rombo (frente al $n (n - 1) / 2$ «muro de ladrillos» de la descomposición cuadrada). La descomposición no contiene fases diagonales, ya que una fase global y cualquier rotación dentro del espacio ocupado no modifican el determinante de Slater preparado.

Cada rotación de Givens se define mediante un cuádruple, (c, s, i, j), en el que:

• c: el coseno de valor real
• s: el seno de valor complejo
• i: el primer índice
• j: el segundo índice (adyacente)

lo que da lugar a una matriz de la forma:

Parámetros

orbital_coeffs : la matriz « $m \times n$ » de coeficientes de orbitales ocupados.

Devuelve

La secuencia de rotaciones de Givens representada mediante cuatrupletas, tal y como se ha explicado anteriormente.

Los orbitales ocupados se recuperan aplicando, en orden, las rotaciones devueltas a las columnas de la referencia « $m \times n$ » ( $\begin{pmatrix} I_m & 0 \end{pmatrix}$ ), donde cada rotación que actúa sobre los índices $i$ y $j$ envía

El resultado abarca el mismo espacio ocupado que orbital_coeffs (definen el mismo determinante de Slater), por lo que el solapamiento al cuadrado $\lvert \det(A B^\dagger) \rvert^2$ entre los orbitales reconstruidos $A$ y el orbital de referencia $B$ es igual a uno.

>>> import numpy as np
>>> from qiskit_fermions.linalg import givens_decomposition_slater
>>> # two occupied orbitals in a basis of three, with orthonormal rows
>>> base = np.array([[0.8, 0.6, 0.0], [-0.48, 0.64, 0.6]])
>>> orbital_coeffs = (base * np.array([[1.0], [1j]])).astype(complex)
>>> rotations = givens_decomposition_slater(orbital_coeffs)
>>> m, n = orbital_coeffs.shape
>>> reconstructed = np.eye(m, n, dtype=complex)
>>> for c, s, i, j in rotations:
...     col_i, col_j = reconstructed[:, i].copy(), reconstructed[:, j].copy()
...     reconstructed[:, i] = c * col_i + s.conjugate() * col_j
...     reconstructed[:, j] = c * col_j - s * col_i
>>> overlap = abs(np.linalg.det(reconstructed @ orbital_coeffs.conj().T)) ** 2
>>> bool(np.isclose(overlap, 1.0))
True