Skip to main content
IBM Quantum Platform

数学的形式主義

一連のクリフォードゲートに対するパウリノイズを学習するという課題において、一般的な解析手法は、一連のゲート適用を通じて個々のパウリ演算子がどのように変換されるかを追跡することである（ゲートがクリフォードであり、ノイズがパウリチャネルであるという仮定の下では、単一のパウリ演算子は、ノイズの関数であるスカラーを乗じたものとして、常に別のパウリ演算子に写像される）。 当然のことながら、このような一連の過程における任意の状態の進化は、こうした軌道の線形結合によって表すことができる。しかし、状態を常にパウリ固有状態に準備し、測定と後処理を行ってパウリ演算子の期待値を計算するという仮定の下では、期待値とノイズモデルパラメータとの関係は、 常にそのような軌道のうちたった1つにのみ依存することになる。 これは、初期状態がパウリ演算子の線形結合であり、各ゲートおよびノイズモデルがパウリ演算子をパウリ演算子に写像し、その直交性を保ち、測定前の最終的な分解において、最終的な期待値がパウリ演算子のうち1つだけを「選択」するという単純な事実から導かれる。

この種の推論は、ノイズ学習における多くの並行する研究分野で見られ、パウリ・ゲートセット学習に関する文献 [ 1, 2 ]、ACESに関する文献 [ 3 ]、およびサイクル・ベンチマーキングに関する文献 [ 4 ] などがその例である。 この推論は、[ 5 ]において、クリフォード-MCMゲート（クリフォードゲートに続いて射影的回路中間測定を行うもの）を含むようにさらに一般化された。 このパッケージは、[ 1, 5 ]に最も忠実に準拠しています。 明示的にはその名称が挙げられていないものの、我々は、パウリ演算子が学習回路を通じてどのように変化するかを記述するために、 パターン転送グラフ （PTG）という形式を採用しており、グラフ上の経路を直接的にデータとして表現している。

以下は、文献に示されている数学の主要な概念のいくつかをまとめたものである。 これは主に表記法を統一するとともに、パッケージの他の部分に関する概念的なドキュメントの参照資料となることを目的としています。

1. 背景

1.1 表記法

K∈NK \in \mathbb{N} について、 [K]={0,1,…,K−1}[K] = \{0, 1, \dots, K - 1\} とする。有限な量子ビットインデックスの集合 S⊂NS \subset \mathbb{N} について、 PS\mathcal{P}^S を、それらの量子ビットに作用する位相を持たないパウリ演算子の集合とする。 なお、 PS\mathcal{P}^S の要素は、 S→{I,X,Y,Z}S \rightarrow \{I, X, Y, Z\} を写像する関数と見なすことに注意してください。したがって、任意の P∈PSP \in \mathcal{P}^S および T⊆ST \subseteq S に対して、 P∣TP|_T は、 PP のクビット部分集合 TT への制限を表します。同様に、互いに素な集合 S,TS, T、および P∈PSP \in \mathcal{P}^S と Q∈PTQ \in \mathcal{P}^T に対して、 P⊗QP \otimes Q は、 PS∪T\mathcal{P}^{S \cup T} の要素のうち、 P⊗Q∣S=PP \otimes Q |_S = P かつ P⊗Q∣T=QP \otimes Q |_T = Q を満たすものを表します。この表記法は、サブシステムの順序を明示的に扱う必要を避け、制限を簡単に記述するのに役立ちます。

有限部分集合 M⊂NM \subset \mathbb{N} について、 Z2M\mathbb{Z}_2^M を、 MM でインデックス付けされた要素からなるビット列の集合とする。上記と同様に、要素を M→Z2M \rightarrow \mathbb{Z}_2 を写像する関数とみなすことで、インデックス集合の制限を用いて部分文字列を容易に記述することができる。

最後に、行列 XX について、そのベクトル化を ∣X⟩ ⁣⟩| X \rangle\!\rangle と表記する。 この表記法を限定的な範囲でしか使用しないことを考えると、実際には特定のベクトル化規則を選ぶ必要はありません。 古典的なビット列 mm については、 ∣m⟩ ⁣⟩=∣∣m⟩⟨m∣⟩ ⁣⟩| m \rangle\!\rangle = | | m \rangle\langle m | \rangle\!\rangle という省略形を用いる。

1.2 量子計測器

古典的なビットを生成する量子演算 m∈Z2Mm \in \mathbb{Z}_2^M （例えば、測定結果など）は、一般に次のような形の線形写像としてモデル化される：

ρ↦∑m∈Z2MEm(ρ)⊗∣m⟩⟨m∣, \rho \mapsto \sum_{m \in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m(\rho) \otimes | m \rangle\langle m |,

ここで、集合 {Em:m∈Z2M}\{\mathcal{E}_m: m \in \mathbb{Z}_2^M\} は完全正であり、 ∑mEm\sum_m \mathcal{E}_m はトレース保存である。 これらの性質を満たす完全正写像の集合 {Em}\{\mathcal{E}_m\} は、 量子計器と呼ばれる。 ユニタリゲートとは、ユニタリ演算である要素を1つだけ持つ計器の特殊なケースである。

2. ノイズの多いクリフォード・MCM・リセットゲート

このパッケージで採用されている形式体系では、特徴付けの対象となるゲートセット内のすべてのゲートが、 KK 個の量子ビットに対する以下の操作の連鎖から構成されると仮定しています：

  1. すべての量子ビットに対するクリフォード演算。
  2. ZZ に沿った回路中間点における、量子ビットの任意の部分集合 M⊆[K]M \subseteq [K] に対する射影測定。
  3. 一部の量子ビット R⊆[K]R \subseteq [K] に対して、 ZZ の基底状態への回路途中リセット。

これは、ユニタリ・クリフォードゲート、測定、状態の準備、およびこれらを任意に組み合わせたものを含む、操作の一般的な分類である。 なお、各量子ビットについて、測定およびリセットは常に ZZ 軸に沿って行われると仮定することに注意してください。 これは厳密には必須ではありませんが、多くの量子コンピューティングの手法に共通する特徴であり、表現や分析を簡略化することができます。

[ 5, 6 ]でリセットなしの場合について概説されているように、このようなゲートのノイズを含むインスタンスに特定のツイリング戦略を適用すると、その結果生じる演算の挙動は、 一様パウリ計器として数学的にモデル化することができる。 つまり、量子計器表記において、 Em=UmG\mathcal{E}_m = \mathcal{U}_mG （ここで、 GG はクリフォードユニタリーである）であり、次のように定義される：

Um=∑a,b∈Z2MΛa,b⊗∣m+a⟩ ⁣⟩⟨ ⁣⟨m+b∣, \mathcal{U}_m = \sum_{a,b \in \mathbb{Z}_2^M} \Lambda_{a,b} \otimes | m + a \rangle\!\rangle\langle\!\langle m + b |,

ここで、各 Λa,b\Lambda_{a,b} は、未測定の量子ビット N=[K]∖MN = [K] \setminus M 上の部分正規化されたパウリチャネルである。これが量子計測器であることから、 ∑a,bΛa,b\sum_{a,b} \Lambda_{a,b} もトレース保存であることが示唆される。 補足：

  • 初期の「未解きほぐされた」ノイズは、「量子」エラーと「古典」エラーの両方を含むものとしてモデル化されている。これには、量子レジスタに対する誤った演算に加え、測定値の報告における誤りも含まれる。
  • 騒音マップ Λa,b\Lambda_{a,b} は、測定結果 mm とは無関係である。

具体的には、上記の和式における単一の項は、測定された状態が ∣m+b⟩| m + b \rangle である場合に mm という測定結果が得られること（ b≠0b \neq 0 の場合は誤分類となる）、および測定レジスタ上の出力状態が ∣m+a⟩| m + a \rangle である場合（ a≠0a \neq 0 の場合は「誤った」状態）を表しています。写像 Λa,b\Lambda_{a,b} は、（測定挙動を条件として）測定されていない量子ビットに対する操作と、（正規化を通じて）特定の測定挙動が生じる確率を同時に符号化しています。

なお、ここでは「ツイリング戦略」の具体的な内容については触れないことに注意してください。チャンネルを上記の形にするような戦略が存在すれば、それで十分です。 なお、パウリチャネルの形状をさらに制限できる「より精緻な」ツイリング戦略も存在する[ 7 ]が、ここでは上記の形式を、検討対象となる最も一般的な数学的表現として扱う。

[ 5 ]の補題1では、 Em=UmG\mathcal{E}_m = \mathcal{U}_mG は次のように書き換えることができることが示されている：

Em=122∣M∣+∣N∣∑x,y∈Z2M,Q∈PN(−1)m⋅(x+y)λx,yQ∣Q⊗Zy⟩ ⁣⟩⟨ ⁣⟨G†(Q⊗Zx)∣. \mathcal{E}_m = \frac{1}{2^{2|M| + |N|}}\sum_{x, y \in \mathbb{Z}_2^M, Q \in \mathcal{P}^N} (-1)^{m \cdot (x + y)} \lambda^Q_{x, y}| Q \otimes Z^y \rangle\!\rangle\langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes Z^x) |.

ある実数 λx,yQ\lambda_{x,y}^Q について、これらは計測器のフィデリティと呼ばれる。

この画像にリセット機能を追加するのは、比較的簡単です。 クビット R⊂[K]R \subset [K] に対するノイズを伴うリセット操作は、以下の分解に従ってモデル化することができる：

12∣R∣∑r∈Z2Rλr∣Zr⟩ ⁣⟩⟨ ⁣⟨IR∣. \frac{1}{2^{|R|}}\sum_{r \in \mathbb{Z}_2^{R}} \lambda_r | Z^r \rangle\!\rangle\langle\!\langle I_R |.

上記の式は、各量子ビットについて、リセットが ZZ 軸に沿って行われるという仮定を明示的に用いている。 操作におけるノイズは、リセット忠実度 λr\lambda_r に符号化されており、これらは単に量子ビットのサブセットによってインデックス付けされている。

式 （1） の末尾にリセット操作を含めた形は、単に式 （2） と組み合わせるだけで得ることができる。 この式を多少簡略化すると、次のようになります：

122∣M∣+∣N∣∑x∈Z2M,y∈Z2M∪RQ∈PN∖R(−1)m⋅(x+y∣M)λx,yQ∣Q⊗Zy⟩ ⁣⟩⟨ ⁣⟨G†(Q⊗IN∩R⊗Zx)∣.\begin{split} \frac{1}{2^{2|M|+|N|}} \sum_{\substack{x \in \mathbb{Z}_2^M, y \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ Q \in \mathcal{P}^{N\setminus R}}} (-1)^{m \cdot (x + y|_M)} \lambda^Q_{x,y} | Q \otimes Z^y \rangle\!\rangle\langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) |. \end{split}

この分解から、フィデリティの数 λx,yQ\lambda^Q_{x, y} は

4∣N∖R∣2∣M∣2∣M∪R∣=4K2∣M∣2−∣M∪R∣=4K2−∣R∖M∣.4^{|N \setminus R|} 2^{|M|}2^{|M \cup R|} = 4^{K}2^{|M|}2^{-|M \cup R|} = 4^K 2^{-|R \setminus M|}.

極限の場合を考えてみよう：(1) 測定やリセットが行われない場合、 M=R=∅M = R = \emptyset となり、この式から 4K4^K が得られる。これは、 KK 個の量子ビット上の位相を持たないパウリ演算子の数である。 (2) M=∅M = \emptyset および R=[K]R=[K] について、これは 2K2^K となり、これは [K][K] の部分集合の数である。 最後に、(3) において、 M=[K]M = [K] および R=∅R = \emptyset に対し、 4K4^K が得られる。これは一見意外に思えるかもしれないことに留意されたい。標準的な学習においては、測定とリセットは通常、同じ数のフィデリティを持つとみなされる（ 2K2^K ）。しかし、ここでの「全測定ゲート」は、 終端測定としてではなく MCM として理解されるため、測定の非恒等出力に対応するフィデリティも含まれる（式 (3) の y≠0y \neq 0 など）。

最後に、リセットを行わない場合において式 (1) の形式をもたらすいかなる回転戦略も、わずかな修正を加えるだけで、リセットが行われる非自明な場合にも同様に適用できることに留意することが重要である。 懸念されるのは、このような回転戦略では、測定後に測定された量子ビットに対して何らかの操作が必要になる可能性があるという点である。 したがって、量子ビットの測定とリセットを行う場合、この戦略を実装するには、測定とリセットの間のゲート内に操作を挿入する必要があるように思われる。 しかし、リセットの性質上、そのような操作は一切効果がないため、単に省略しても、望ましい構造は同じように得られる。

3. パス形式論

序論で述べたように、クリフォードゲートにおけるパウリ型ノイズに対するすべての学習アルゴリズムは、個々のパウリが回路内をどのように変化していくかを追跡し、その過程でノイズの忠実度係数を取得することを基本としている。 したがって、このようなゲートで構成される回路の期待値は、個々のゲートの基礎となるフィデリティの積と単純に関連しており、この方法により、仮定されているパラメータとフィデリティの間の疎な対応関係を逆算することで、モデルパラメータを推定することができる。

[ 1 ]では、ユニタリゲート集合の文脈において、これは「 パターン転送グラフ （PTG）」として形式化されている。PTGとは、ゲート集合の要素と、単一量子ビットのクリフォードゲート（完全、すなわち「自由」な操作であると仮定される）の層から構成される、あらゆる可能な実験を表す有向グラフである。 これは[ 5 ]において、回路中間での測定を含むゲートセットも対象とするよう一般化された。 いずれの場合も、各測定地点で特定の観測量が計算されるという仮定のもと、回路内を単一のパウリ演算子が通過する過程を追跡することで、各実験が記述される。 ここでは、グラフや経路の構成について直接的に検討することはないが、独自の表記法を用い、リセットを含めた形で、それらを正当化するために必要な事実を提示する。

ユニタリーゲートセットの場合、回路を通る単一のパウリ演算子の追跡は直感的に理解できるかもしれないが、測定の非決定論的な性質のため、より一般的なクリフォード・MCM・リセットの場合には、それほど自明には成り立たない。 以下の命題は、より一般的な場合においても、この図式を再現している [ 5 ]：

提案第1号

x∈Z2Mx \in \mathbb{Z}_2^M、 y∈Z2M∪Ry \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R}、および Q∈PN∖RQ\in \mathcal{P}^{N \setminus R} については、以下のことが成り立ちます

⟨ ⁣⟨Q⊗Zy∣⊗⟨ ⁣⟨Zx+y∣M∣M(∑m∈Z2MEm⊗∣m⟩ ⁣⟩)=λx,yQ⟨ ⁣⟨G†(Q⊗IN∩R⊗Zx)∣ \langle\!\langle Q \otimes Z^y |\otimes \langle\!\langle Z^{x + y|_M} |_M \left(\sum_{m\in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m \otimes | m \rangle\!\rangle\right) = \lambda_{x,y}^Q\langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) |

言い換えれば、MCMによって出力される古典レジスタについて期待値 Zx+y∣MZ^{x + y|_M} を計算すると、クリフォード・MCM・リセットゲートを経た観測量の「ハイゼンベルク像」による発展は、 Q⊗Zy→Q⊗IN∩R⊗ZxQ \otimes Z^y \rightarrow Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x という写像となる。この事実だけで、ユニタリーゲートセットの場合を超えてPTGに類似した解析を再現することが可能となる。すなわち、測定結果に特定の後処理を施すことで、測定やリセットを伴うゲートであっても、あるパウリ演算子を別のパウリ演算子へと決定論的に写像するものとして捉えることができるのである。

これを証明する前に、式 （3） をより直感的に書き直しておこう。 なお、 x,y∈Z2Mx, y \in \mathbb{Z}_2^M については、 Zx+y=∑m∈Z2M(−1)m⋅(x+y)∣m⟩⟨m∣Z^{x+y} = \sum_{m \in \mathbb{Z}_2^M} (-1)^{m \cdot (x + y)}| m \rangle\langle m | が成り立つため、（スーパー演算子表記を用いると）次のようになる：

∑m∈Z2MEm⊗∣m⟩ ⁣⟩M=122∣M∣+∣N∣∑x∈Z2M,y∈Z2M∪RQ∈PN∖Rλx,yQ∣Q⊗Zy⟩ ⁣⟩⟨ ⁣⟨G†(Q⊗IN∩R⊗Zx)∣⊗∣Zx+y∣M⟩ ⁣⟩M,\begin{split} \begin{aligned} \sum_{m \in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m \otimes | m \rangle\!\rangle_M = \frac{1}{2^{2|M|+|N|}}\sum_{\substack{x \in \mathbb{Z}_2^M, y \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ Q \in \mathcal{P}^{N\setminus R}}} \lambda^Q_{x,y} | Q \otimes Z^y \rangle\!\rangle \langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) | \otimes | Z^{x + y|_M} \rangle\!\rangle_M, \end{aligned} \end{split}

ここで、式 （3） を適用して項を整理した。また、下付き文字 MM を用いて、古典的な測定結果レジスタを表す。このレジスタについては、上述の通り、量子レジスタと同様の表記法を用いて扱う。

証明。 そこでは、次のように述べられている

⟨ ⁣⟨Q⊗Zy∣⊗⟨ ⁣⟨Zx+y∣M∣(∑m∈Z2MEm⊗∣m⟩ ⁣⟩)=⟨ ⁣⟨Q⊗Zy∣⊗⟨ ⁣⟨Zx+y∣M∣(122∣M∣+∣N∣∑a∈Z2M,b∈Z2M∪RP∈PN∖Rλa,bP∣P⊗Zb⟩ ⁣⟩⟨ ⁣⟨G†(P⊗IN∩R⊗Za)∣⊗∣Za+b∣M⟩ ⁣⟩)=122∣M∣+∣N∣∑a∈Z2M,b∈Z2M∪RP∈PN∖Rλa,bP⟨Q⊗Zy,P⊗Zb⟩⏟2∣M∣+∣N∣δP,Qδy,b⟨Zx+y∣M,Za+b∣M⟩⏟2∣M∣δx+y∣M,a+b∣M⟨ ⁣⟨G†(P⊗IN∩R⊗Za)∣\begin{split} \begin{aligned} &\langle\!\langle Q \otimes Z^y | \otimes \langle\!\langle Z^{x + y|_M} | \left(\sum_{m\in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m \otimes | m \rangle\!\rangle\right)\\ &= \langle\!\langle Q \otimes Z^y | \otimes \langle\!\langle Z^{x + y|_M} | \left( \frac{1}{2^{2|M|+|N|}} \sum_{\substack{a \in \mathbb{Z}_2^M, b \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ P \in \mathcal{P}^{N\setminus R}}} \lambda^P_{a,b} | P \otimes Z^b \rangle\!\rangle\langle\!\langle G^\dagger(P \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^a) | \otimes | Z^{a + b|_M} \rangle\!\rangle \right) \\ &=\frac{1}{2^{2|M| + |N|}}\sum_{\substack{a \in \mathbb{Z}_2^M, b \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ P \in \mathcal{P}^{N \setminus R}}} \lambda^P_{a, b}\underbrace{\langle Q \otimes Z^y, P \otimes Z^b \rangle}_{2^{|M| + |N|} \delta_{P, Q}\delta_{y,b}} \underbrace{\langle Z^{x + y|_M}, Z^{a + b|_M} \rangle}_{2^{|M|}\delta_{x+y|_M,a+b|_M}}\langle\!\langle G^\dagger(P \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^a) | \end{aligned} \end{split}

最後に、 δy,bδx+y∣M,a+b∣M=δy,bδx,a\delta_{y,b}\delta_{x+y|_M,a+b|_M} = \delta_{y,b}\delta_{x,a} であることに注目すると、したがって、上記の最後の項は単一の項 λx,yQ⟨ ⁣⟨G†(Q⊗IN∩R⊗Zx)∣\lambda^Q_{x,y} \langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) | に簡約され、求めていた結果が得られる。

この先の内容については[ 5 ]を参照のこと。PTGの定義、PTGを通る経路、および適切に定義された経路はいずれも実験に対応するという証明について述べられている。

参照

[1]

陳森瑞、張志漢、江亮、およびスティーブン・T・フラミア。 ゲートセット・パウリノイズの効率的な自己一貫性学習。 PRX Quantum, 7(1):010305, 2026. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/1pnv-t9px, doi:10.1103/1pnv-t9px.

[2]

エドワード・H・チェン、センルイ・チェン、ローリン・E・フィッシャー、アンドルー・エディンズ、ルーク・C・G・ゴビア、ブラッド・ミッチェル、アンドレ・ヘ、キム・ヨンソク、リャン・ジアン、およびアリレザ・セイフ。 量子コンピュータにおけるパウリノイズの曖昧性解消。 PRX Quantum、ページ、2026年。 doi:10.1103/69wc-gzl6。

[3]

スティーブン・T・フラミア。 回路固有値の平均化サンプリング。 「 第17回量子計算・通信・暗号理論会議（TQC 2022）」、『Leibniz International Proceedings in Informatics (LIPIcs)』第232巻、4:1–4:10。 2022年、ドイツ・ダグシュトゥール。 ダグシュトゥール城 – ライプニッツ情報科学センター。 doi:10.4230/LIPIcs.TQC.2022.4.

[4]

アレクサンダー・エアハルト、ジョエル・J・ウォールマン、ルーカス・ポストラー、ミヒャエル・メス、ロマン・ストリッカー、エステバン・A・マルティネス、フィリップ・シンドラー、トーマス・モンツ、ジョセフ・エマーソン、およびライナー・ブラット。 サイクルベンチマークを用いた大規模量子コンピュータの特徴付け。 『Nature Communications 』, 10(1):5347, 2019. doi:10.1038/s41467-019-13068-7.

[5]

Zhihan Zhang、Senrui Chen、Yunchao Liu、およびLiang Jiang。 回路中間測定値の特性評価のための一般化サイクル・ベンチマーキングアルゴリズム。 PRX Quantum, 6(1):010310, 2025. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PRXQuantum.6.010310, doi:10.1103/PRXQuantum.6.010310.

[6]

ステファニー・J・ビールとジョエル・J・ウォールマン。 サブシステムの計測におけるランダム化コンパイル。 2023年。 URL: http://arxiv.org/abs/2304.06599, doi:10.48550/arXiv.2304.06599.

[7]

エウアウト・ファン・デン・ベルグとパヴェウ・ヴォチアン。 スパースなパウリ・リンドブラッドノイズモデルを学習するための手法。 『Quantum』, 8:1556, 2024年。 URL: https://quantum-journal.org/papers/q-2024-12-10-1556/, doi:10.22331/q-2024-12-10-1556.

このページは役に立ちましたか？
バグや誤字の報告、またはコンテンツの要求はGitHubで行ってください。