givens_decomposition_slater

givens_decomposition_slater(orbital_coeffs)

スレーター行列式の占有軌道をギブンズ回転に分解する。

これは、スレーター行列式による状態生成に特化した givens_decomposition()、の矩形版です。 スレーター行列式の占有軌道係数行列が与えられると、参照構成 $\lvert 1 \cdots 1 0 \cdots 0 \rangle$ （最初の $m$ の軌道が占有されている）に適用することで、スレーター行列式を生成する一連のギブンズ回転を返す。 以下は、行が $m$ の占有軌道であり、 $n$ の空間軌道（ $m \le n$ ）を基底として表された $m \times n$ 行列である orbital_coeffs 。この行列の行は直交正規化されていると仮定する。

とは異なり givens_decomposition()、この分解では、 $n \times n$ の完全な軌道回転ではなく、 $m$ の占有軌道のみを実現すればよいため、最大で $m (n - m)$ のギブンズ回転をダイヤモンド状のパターンで配置して使用します（これに対し、正方形の分解では $n (n - 1) / 2$ の「レンガの壁」のような配置となります）。 この分解には対角成分の位相は含まれていない。なぜなら、全体的な位相や、占有空間内でのいかなる回転も、準備されたスレーター行列式を変化させないからである。

各ギブンズ回転は、4-タプル で定義され (c, s, i, j)、その内容は以下の通りである：

• c: 実数値のコサイン
• s: 複素数値の正弦関数
• i: 最初のインデックス
• j: 2番目（隣接する）のインデックス

その結果、次のような形式の行列が得られる：

パラメーター

orbital_coeffs – 占有軌道係数の $m \times n$ 行列。

戻り値

前述のように、4-タプルとして表されるギブンズ回転の列。

占有軌道は、 $m \times n$ の参照データ $\begin{pmatrix} I_m & 0 \end{pmatrix}$ の各列に対して、返された回転を順に適用することで復元される。ここで、インデックス $i$ および $j$ に作用する各回転は、

この結果は orbital_coeffs （それらは同じスレーター行列式を定義するため）同じ占有空間をカバーしているため、再構成された軌道 $A$ と対象の軌道 $B$ との重なり $\lvert \det(A B^\dagger) \rvert^2$ の二乗は1となる。

>>> import numpy as np
>>> from qiskit_fermions.linalg import givens_decomposition_slater
>>> # two occupied orbitals in a basis of three, with orthonormal rows
>>> base = np.array([[0.8, 0.6, 0.0], [-0.48, 0.64, 0.6]])
>>> orbital_coeffs = (base * np.array([[1.0], [1j]])).astype(complex)
>>> rotations = givens_decomposition_slater(orbital_coeffs)
>>> m, n = orbital_coeffs.shape
>>> reconstructed = np.eye(m, n, dtype=complex)
>>> for c, s, i, j in rotations:
...     col_i, col_j = reconstructed[:, i].copy(), reconstructed[:, j].copy()
...     reconstructed[:, i] = c * col_i + s.conjugate() * col_j
...     reconstructed[:, j] = c * col_j - s * col_i
>>> overlap = abs(np.linalg.det(reconstructed @ orbital_coeffs.conj().T)) ** 2
>>> bool(np.isclose(overlap, 1.0))
True