Informação quântica

Agora estamos preparados para passar para a informação quântica na configuração de vários sistemas. Assim como na lição anterior sobre sistemas únicos, a descrição matemática da informação quântica para sistemas múltiplos é bastante semelhante ao caso probabilístico e faz uso de conceitos e técnicas semelhantes.

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Estados quânticos

Vários sistemas podem ser vistos coletivamente como sistemas únicos e compostos. Já observamos isso na configuração probabilística, e a configuração quântica é análoga. Os estados quânticos de vários sistemas são, portanto, representados por vetores de coluna com entradas de números complexos e norma euclidiana igual a $1,$, exatamente como os estados quânticos de sistemas únicos. No caso de sistemas múltiplos, as entradas desses vetores são colocadas em correspondência com o produto cartesiano dos conjuntos de estados clássicos associados a cada um dos sistemas individuais, porque esse é o conjunto de estados clássicos do sistema composto.

Por exemplo, se $\mathsf{X}$ e $\mathsf{Y}$ são qubits, então o conjunto de estados clássicos do par de qubits $(\mathsf{X},\mathsf{Y}),$, visto coletivamente como um único sistema, é o produto cartesiano $\{0,1\}\times\{0,1\}.$ Ao representar pares de valores binários como cadeias binárias de comprimento dois, associamos esse conjunto de produtos cartesianos ao conjunto $\{00,01,10,11\}.$ Os vetores a seguir são, portanto, todos exemplos de vetores de estado quântico do par $(\mathsf{X},\mathsf{Y}):$

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 01\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 10\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 11\rangle, \quad \frac{3}{5} \vert 00\rangle - \frac{4}{5} \vert 11\rangle, \quad \text{and} \quad \vert 01 \rangle.$$

Há variações sobre como os vetores de estado quântico de vários sistemas são expressos, e podemos escolher a variação que melhor se adapte às nossas preferências. Aqui estão alguns exemplos para o primeiro vetor de estado quântico acima.

1. Podemos usar o fato de que $\vert ab\rangle = \vert a\rangle \vert b\rangle$ (para quaisquer estados clássicos $a$ e $b$ ) para escrever

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle\vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0\rangle\vert 1\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\vert 1\rangle.$$

2. Podemos optar por escrever o símbolo do produto tensorial explicitamente desta forma:

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle\otimes\vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0\rangle\otimes\vert 1\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\otimes\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\otimes\vert 1\rangle.$$

3. Podemos subscrever os kets para indicar como eles correspondem aos sistemas que estão sendo considerados, da seguinte forma:

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle_{\mathsf{X}}\vert 0 \rangle_{\mathsf{Y}} - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0\rangle_{\mathsf{X}}\vert 1\rangle_{\mathsf{Y}} + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle_{\mathsf{X}}\vert 0\rangle_{\mathsf{Y}} + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle_{\mathsf{X}}\vert 1\rangle_{\mathsf{Y}}.$$

É claro que também podemos escrever os vetores de estado quântico explicitamente como vetores de coluna:

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] - \frac{1}{\sqrt{6}}\\[2mm] \frac{i}{\sqrt{6}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}.$$

Dependendo do contexto em que aparece, uma dessas variações pode ser preferida, mas todas são equivalentes no sentido de que descrevem o mesmo vetor.

Produtos tensoriais de vetores de estado quântico

Semelhante ao que temos para os vetores de probabilidade, os produtos tensoriais dos vetores de estado quântico também são vetores de estado quântico e, novamente, representam a independência entre os sistemas.

Mais detalhadamente, e começando com o caso de dois sistemas, suponha que $\vert \phi \rangle$ seja um vetor de estado quântico de um sistema $\mathsf{X}$ e que $\vert \psi \rangle$ seja um vetor de estado quântico de um sistema $\mathsf{Y}.$ O produto tensorial $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle,$, que pode ser escrito alternativamente como $\vert \phi \rangle \vert \psi \rangle$ ou como $\vert \phi \otimes \psi \rangle,$ é, então, um vetor de estado quântico do sistema conjunto $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$ Novamente, nos referimos a um estado dessa forma como sendo um estado de produto.

Intuitivamente falando, quando um par de sistemas $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ está em um estado de produto $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle,$, podemos interpretar isso como significando que $\mathsf{X}$ está no estado quântico $\vert \phi \rangle,$ $\mathsf{Y}$ está no estado quântico $\vert \psi \rangle,$ e os estados dos dois sistemas não têm nada a ver um com o outro.

O fato de o vetor do produto tensorial $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$ ser realmente um vetor de estado quântico é consistente com o fato de a norma euclidiana ser multiplicativa em relação aos produtos tensoriais:

$$\begin{aligned} \bigl\| \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle \bigr\| & = \sqrt{ \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \bigl\vert\langle ab \vert \phi\otimes\psi \rangle \bigr\vert^2 }\\[1mm] & = \sqrt{ \sum_{a\in\Sigma} \sum_{b\in\Gamma} \bigl\vert\langle a \vert \phi \rangle \langle b \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 }\\[1mm] & = \sqrt{ \biggl(\sum_{a\in\Sigma} \bigl\vert \langle a \vert \phi \rangle \bigr\vert^2 \biggr) \biggl(\sum_{b\in\Gamma} \bigl\vert \langle b \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 \biggr) }\\[1mm] & = \bigl\| \vert \phi \rangle \bigr\| \bigl\| \vert \psi \rangle \bigr\|. \end{aligned}$$

Como $\vert \phi \rangle$ e $\vert \psi \rangle$ são vetores de estado quântico, temos $\|\vert \phi \rangle\| = 1$ e $\|\vert \psi \rangle\| = 1,$ e, portanto, $\|\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle\| = 1,$, de modo que $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$ também é um vetor de estado quântico.

Isso se aplica a mais de dois sistemas. Se $\vert \psi_0 \rangle,\ldots,\vert \psi_{n-1} \rangle$ são vetores de estado quântico dos sistemas $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1},$, então $\vert \psi_{n-1} \rangle\otimes\cdots\otimes \vert \psi_0 \rangle$ é um vetor de estado quântico que representa um estado de produto do sistema conjunto $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0).$ Novamente, sabemos que esse é um vetor de estado quântico porque

$$\bigl\| \vert \psi_{n-1} \rangle\otimes\cdots\otimes \vert \psi_0 \rangle \bigr\| = \bigl\|\vert \psi_{n-1} \rangle\bigl\| \cdots \bigl\|\vert \psi_0 \rangle \bigr\| = 1^n = 1.$$

Estados entrelaçados

Nem todos os vetores de estado quântico de vários sistemas são estados de produto. Por exemplo, o vetor de estado quântico

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11\rangle \tag{1}$$

de dois qubits não é um estado de produto. Para raciocinar assim, podemos seguir exatamente o mesmo argumento que usamos na seção anterior para um estado probabilístico. Ou seja, se $(1)$ fosse um estado de produto, existiriam vetores de estado quântico $\vert\phi\rangle$ e $\vert\psi\rangle$ para os quais

$$\vert\phi\rangle\otimes\vert\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11\rangle.$$

Mas, nesse caso, seria necessariamente o caso de

$$\langle 0 \vert \phi\rangle \langle 1 \vert \psi\rangle = \langle 01 \vert \phi\otimes\psi\rangle = 0$$

o que implica que $\langle 0 \vert \phi\rangle = 0$ ou $\langle 1 \vert \psi\rangle = 0$ (ou ambos). Isso contradiz o fato de que

$$\langle 0 \vert \phi\rangle \langle 0 \vert \psi\rangle = \langle 00 \vert \phi\otimes\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

e

$$\langle 1 \vert \phi\rangle \langle 1 \vert \psi\rangle = \langle 11 \vert \phi\otimes\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

são ambos diferentes de zero. Assim, o vetor de estado quântico $(1)$ representa uma correlação entre dois sistemas e, especificamente, dizemos que os sistemas estão emaranhados.

Observe que o valor específico $1/\sqrt{2}$ não é importante para esse argumento - tudo o que importa é que esse valor seja diferente de zero. Assim, por exemplo, o estado quântico

$$\frac{3}{5} \vert 00\rangle + \frac{4}{5} \vert 11\rangle$$

também não é um estado de produto, pelo mesmo argumento.

O entrelaçamento é um recurso essencial da informação quântica que será discutido em mais detalhes em uma lição posterior. O entrelaçamento pode ser complicado, especialmente para os tipos de estados quânticos ruidosos que podem ser descritos por matrizes de densidade (que são discutidos no curso Formulação geral de informações quânticas, que é o terceiro curso da série Entendendo informações e computação quânticas ). Para vetores de estado quântico, entretanto, o emaranhamento é equivalente à correlação: qualquer vetor de estado quântico que não seja um estado de produto representa um estado emaranhado.

Em contrapartida, o vetor de estado quântico

$$\frac{1}{2} \vert 00\rangle + \frac{i}{2} \vert 01\rangle - \frac{1}{2} \vert 10\rangle - \frac{i}{2} \vert 11\rangle$$

é um exemplo de um estado de produto.

$$\frac{1}{2} \vert 00\rangle + \frac{i}{2} \vert 01\rangle - \frac{1}{2} \vert 10\rangle - \frac{i}{2} \vert 11\rangle = \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 0\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 1\rangle \biggr) \otimes \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 0\rangle + \frac{i}{\sqrt{2}}\vert 1\rangle \biggr)$$

Portanto, esse estado não está emaranhado.

Bell afirma

Vamos agora dar uma olhada em alguns exemplos importantes de estados quânticos de múltiplos qubits, começando com os estados de Bell. Esses são os quatro estados de dois qubits a seguir:

$$\begin{aligned} \vert \phi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[3mm] \vert \phi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[3mm] \vert \psi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \\[3mm] \vert \psi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \end{aligned}$$

Os estados de Bell são assim denominados em homenagem a John BellJohn Stewart Bell (1928-1990) foi um físico que fez contribuições importantes para os fundamentos da teoria quântica. Observe que o mesmo argumento que estabelece que $\vert\phi^+\rangle$ não é um estado de produto revela que nenhum dos outros estados de Bell é um estado de produto: todos os quatro estados de Bell representam emaranhamento entre dois qubits.

A coleção de todos os quatro estados de Bell

$$\bigl\{\vert \phi^+ \rangle, \vert \phi^- \rangle, \vert \psi^+ \rangle, \vert \psi^- \rangle\bigr\}$$

é conhecida como a base de Bell. Fazendo jus ao seu nome, essa é uma base; qualquer vetor de estado quântico de dois qubits ou, de fato, qualquer vetor complexo que tenha entradas correspondentes aos quatro estados clássicos de dois bits pode ser expresso como uma combinação linear dos quatro estados de Bell. Por exemplo,

$$\vert 0 0 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert \phi^+\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert \phi^-\rangle.$$

Estados GHZ e W

A seguir, consideraremos dois exemplos interessantes de estados de três qubits. O primeiro exemplo é o estado GHZ (assim chamado em homenagem a Daniel Greenberger, Michael Horne e Anton Zeilinger, que estudaram pela primeira vez algumas de suas propriedades):

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 000\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 111\rangle.$$

O segundo exemplo é o chamado estado W:

$$\frac{1}{\sqrt{3}} \vert 001\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 010\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 100\rangle.$$

Nenhum desses estados é um estado de produto, o que significa que eles não podem ser escritos como um produto tensorial de três vetores de estado quântico de qubit. Examinaremos esses dois estados mais tarde, quando discutirmos as medições parciais dos estados quânticos de vários sistemas.

Exemplos adicionais

Os exemplos de estados quânticos de vários sistemas que vimos até agora são estados de dois ou três qubits, mas também podemos considerar estados quânticos de vários sistemas com diferentes conjuntos de estados clássicos.

Por exemplo, aqui está um estado quântico de três sistemas, $\mathsf{X},$ $\mathsf{Y},$ e $\mathsf{Z},$, em que o conjunto de estados clássicos de $\mathsf{X}$ é o alfabeto binário (portanto, $\mathsf{X}$ é um qubit) e o conjunto de estados clássicos de $\mathsf{Y}$ e $\mathsf{Z}$ é $\{\clubsuit,\diamondsuit,\heartsuit,\spadesuit\}:$

$$\frac{1}{2} \vert 0 \rangle \vert \heartsuit\rangle \vert \heartsuit \rangle + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \vert \spadesuit\rangle \vert \heartsuit \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle \vert \heartsuit\rangle \vert \diamondsuit \rangle.$$

E aqui está um exemplo de um estado quântico de três sistemas, $\mathsf{X},$ $\mathsf{Y},$ e $\mathsf{Z},$, que compartilham o mesmo conjunto de estados clássicos $\{0,1,2\}:$

$$\frac{ \vert 012 \rangle - \vert 021 \rangle + \vert 120 \rangle - \vert 102 \rangle + \vert 201 \rangle - \vert 210 \rangle }{\sqrt{6}}.$$

Os sistemas que têm o conjunto de estados clássicos $\{0,1,2\}$ são geralmente chamados de trits ou (supondo que possam estar em um estado quântico) qutrits. O termo qudit se refere a um sistema com um conjunto de estados clássicos $\{0,\ldots,d-1\}$ para uma escolha arbitrária de $d.$

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Medições de estados quânticos

As medições de base padrão de estados quânticos de sistemas únicos foram discutidas na lição anterior: se um sistema com conjunto de estados clássicos $\Sigma$ estiver em um estado quântico representado pelo vetor $\vert \psi \rangle,$ e esse sistema for medido (com relação a uma medição de base padrão), então cada estado clássico $a\in\Sigma$ aparecerá com probabilidade $\vert \langle a \vert \psi \rangle\vert^2.$ Isso nos diz o que acontece quando temos um estado quântico de vários sistemas e optamos por medir todo o sistema composto, o que equivale a medir todos os sistemas.

Para afirmar isso com precisão, vamos supor que $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ sejam sistemas com conjuntos de estados clássicos $\Sigma_0,\ldots,\Sigma_{n-1},$ respectivamente. Podemos então visualizar $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0)$ coletivamente como um único sistema cujo conjunto de estados clássicos é o produto cartesiano $\Sigma_{n-1}\times\cdots\times\Sigma_0.$ Se um estado quântico desse sistema for representado pelo vetor de estado quântico $\vert\psi\rangle,$ e todos os sistemas forem medidos, então cada resultado possível $(a_{n-1},\ldots,a_0)\in\Sigma_{n-1}\times\cdots\times\Sigma_0$ aparecerá com probabilidade $\vert\langle a_{n-1}\cdots a_0\vert \psi\rangle\vert^2.$

Por exemplo, se os sistemas $\mathsf{X}$ e $\mathsf{Y}$ estiverem conjuntamente no estado quântico

$$\frac{3}{5} \vert 0\rangle \vert \heartsuit \rangle - \frac{4i}{5} \vert 1\rangle \vert \spadesuit \rangle,$$

então, a medição de ambos os sistemas com medições de base padrão produz o resultado $(0,\heartsuit)$ com probabilidade $9/25$ e o resultado $(1,\spadesuit)$ com probabilidade $16/25.$

Medições parciais

Agora vamos considerar a situação em que temos vários sistemas em algum estado quântico e medimos um subconjunto adequado dos sistemas. Como antes, começaremos com dois sistemas $\mathsf{X}$ e $\mathsf{Y}$ com conjuntos de estados clássicos $\Sigma$ e $\Gamma,$, respectivamente.

Em geral, um vetor de estado quântico de $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ tem a forma

$$\vert \psi \rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_{ab} \vert ab\rangle,$$

onde $\{\alpha_{ab} : (a,b)\in\Sigma\times\Gamma\}$ é um conjunto de números complexos que satisfazem

$$\sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \vert \alpha_{ab} \vert^2 = 1,$$

o que equivale a $\vert \psi \rangle$ ser um vetor unitário.

Já sabemos, com base na discussão acima, que se $\mathsf{X}$ e $\mathsf{Y}$ forem medidos, então cada resultado possível $(a,b)\in\Sigma\times\Gamma$ aparecerá com probabilidade

$$\bigl\vert \langle ab \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 = \vert\alpha_{ab}\vert^2.$$

Se, em vez disso, supusermos que apenas o primeiro sistema $\mathsf{X}$ é medido, a probabilidade de cada resultado $a\in\Sigma$ aparecer deve ser igual a

$$\sum_{b\in\Gamma} \bigl\vert \langle ab \vert \psi \rangle \bigr\vert^{2} = \sum_{b\in\Gamma} \vert\alpha_{ab}\vert^2.$$

Isso é consistente com o que já vimos na configuração probabilística, bem como com nosso entendimento atual da física: a probabilidade de cada resultado aparecer quando $\mathsf{X}$ é medido não pode depender do fato de $\mathsf{Y}$ também ter sido medido ou não, pois isso permitiria uma comunicação mais rápida que a luz.

Tendo obtido um resultado específico $a\in\Sigma$ de uma medição de base padrão de $\mathsf{X},$, esperamos naturalmente que o estado quântico de $\mathsf{X}$ mude para que seja igual a $\vert a\rangle,$, exatamente como fizemos para sistemas únicos. Mas o que acontece com o estado quântico de $\mathsf{Y}$?

Para responder a essa pergunta, podemos primeiro expressar o vetor $\vert\psi\rangle$ como

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a\in\Sigma} \vert a \rangle \otimes \vert \phi_a \rangle,$$

em que

$$\vert \phi_a \rangle = \sum_{b\in\Gamma} \alpha_{ab} \vert b\rangle$$

para cada $a\in\Sigma.$ Aqui estamos seguindo a mesma metodologia do caso probabilístico, de isolar os estados da base padrão do sistema que está sendo medido. A probabilidade de que a medição da base padrão de $\mathsf{X}$ forneça cada resultado $a$ é a seguinte:

$$\sum_{b\in\Gamma} \vert\alpha_{ab}\vert^2 = \bigl\| \vert \phi_a \rangle \bigr\|^2.$$

E, como resultado da medição de base padrão de $\mathsf{X}$, que dá o resultado $a,$, o estado quântico do par $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ junto se torna

$$\vert a \rangle \otimes \frac{\vert \phi_a \rangle}{\|\vert \phi_a \rangle\|}.$$

Ou seja, o estado "entra em colapso" como no caso de um único sistema, mas somente na medida necessária para que o estado seja consistente com a medição de $\mathsf{X}$ que produziu o resultado $a.$

Em termos informais, $\vert a \rangle \otimes \vert \phi_a\rangle$ representa o componente de $\vert \psi\rangle$ que é consistente com uma medição de $\mathsf{X}$ que resulta no resultado $a.$ Em seguida, normalizamos esse vetor - dividindo-o por sua norma euclidiana, que é igual a $\|\vert\phi_a\rangle\|$ - para obter um vetor de estado quântico válido com norma euclidiana igual a $1.$ Essa etapa de normalização é análoga ao que fizemos na configuração probabilística quando dividimos os vetores pela soma de suas entradas para obter um vetor de probabilidade.

Como exemplo, considere o estado de dois qubits $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ desde o início da seção:

$$\vert \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 01 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 10 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 11 \rangle.$$

Para entender o que acontece quando o primeiro sistema $\mathsf{X}$ é medido, começamos escrevendo

$$\vert \psi \rangle = \vert 0 \rangle \otimes \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr) + \vert 1 \rangle \otimes \biggl( \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr).$$

Agora vemos, com base na descrição acima, que a probabilidade de a medição resultar no resultado $0$ é

$$\biggl\|\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle\biggr\|^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3},$$

nesse caso, o estado de $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ se torna

$$\vert 0\rangle \otimes \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{\frac{2}{3}}} = \vert 0\rangle \otimes \Biggl( \frac{\sqrt{3}}{2} \vert 0 \rangle - \frac{1}{2} \vert 1\rangle\Biggr);$$

e a probabilidade de a medição resultar no resultado $1$ é

$$\biggl\|\frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle\biggr\|^2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3},$$

nesse caso, o estado de $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ se torna

$$\vert 1\rangle \otimes \frac{\frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{\frac{1}{3}}} = \vert 1\rangle \otimes \Biggl( \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle\Biggr).$$

A mesma técnica, usada de forma simétrica, descreve o que acontece se o segundo sistema $\mathsf{Y}$ for medido em vez do primeiro. Desta vez, reescrevemos o vetor $\vert \psi \rangle$ como

$$\vert \psi \rangle = \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr) \otimes \vert 0\rangle + \biggl( -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle \biggr) \otimes \vert 1\rangle.$$

A probabilidade de que a medição de $\mathsf{Y}$ dê o resultado $0$ é

$$\biggl\| \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr\|^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3},$$

nesse caso, o estado de $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ se torna

$$\frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{\frac{2}{3}}} \otimes \vert 0 \rangle = \biggl(\frac{\sqrt{3}}{2} \vert 0 \rangle + \frac{i}{2} \vert 1 \rangle\biggr) \otimes\vert 0 \rangle;$$

e a probabilidade de que o resultado da medição seja $1$ é

$$\biggl\| -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle \biggr\|^2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3},$$

nesse caso, o estado de $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ se torna

$$\frac{ -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle }{\frac{1}{\sqrt{3}}} \otimes \vert 1\rangle = \biggl(-\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle\biggr) \otimes \vert 1\rangle.$$

Observação sobre estados quânticos reduzidos

O exemplo anterior mostra uma limitação da descrição simplificada da informação quântica, que é o fato de ela não nos oferecer uma maneira de descrever o estado quântico reduzido (ou marginal) de apenas um de dois sistemas (ou de um subconjunto adequado de qualquer número de sistemas) como no caso probabilístico.

Especificamente, para um estado probabilístico de dois sistemas $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ descrito por um vetor de probabilidade

$$\sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} p_{ab} \vert ab\rangle,$$

podemos escrever o estado probabilístico reduzido ou marginal de $\mathsf{X}$ sozinho como

$$\sum_{a\in\Sigma} \biggl( \sum_{b\in\Gamma} p_{ab}\biggr) \vert a\rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} p_{ab} \vert a\rangle.$$

Para vetores de estado quântico, não há uma maneira análoga de fazer isso. Em particular, para um vetor de estado quântico

$$\vert \psi \rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_{ab} \vert ab\rangle,$$

o vetor

$$\sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_{ab} \vert a\rangle$$

não é um vetor de estado quântico em geral e não representa adequadamente o conceito de um estado reduzido ou marginal.

Em vez disso, podemos recorrer à noção de uma matriz de densidade, que é discutida no curso Formulação geral da informação quântica. As matrizes de densidade nos fornecem uma maneira significativa de definir estados quânticos reduzidos que é análoga à configuração probabilística.

Medições parciais para três ou mais sistemas

As medições parciais para três ou mais sistemas, em que algum subconjunto adequado dos sistemas é medido, podem ser reduzidas ao caso de dois sistemas, dividindo-os em duas coleções, as que são medidas e as que não são. Aqui está um exemplo específico que ilustra como isso pode ser feito. Ele demonstra especificamente como a subscrição de kets pelos nomes dos sistemas que eles representam pode ser útil - nesse caso, porque nos dá uma maneira simples de descrever permutações dos sistemas.

Para este exemplo, consideraremos um estado quântico de um conjunto de cinco sistemas $(\mathsf{X}_4,\ldots,\mathsf{X}_0),$ em que todos os cinco sistemas compartilham o mesmo conjunto de estados clássicos $\{\clubsuit,\diamondsuit,\heartsuit,\spadesuit\}:$

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle + \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\diamondsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\clubsuit\rangle + \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \\ -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\heartsuit\rangle \vert\heartsuit\rangle - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle \vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\clubsuit\rangle. \end{gathered}$$

Consideraremos a situação em que o primeiro e o terceiro sistemas são medidos, e os sistemas restantes são deixados de lado.

Em termos conceituais, não há diferença fundamental entre essa situação e aquela em que um dos dois sistemas é medido. Infelizmente, como os sistemas medidos estão intercalados com os sistemas não medidos, enfrentamos um obstáculo para escrever as expressões necessárias para realizar esses cálculos.

Uma maneira de proceder, conforme sugerido acima, é subscrever os kets para indicar a quais sistemas eles se referem. Isso nos dá uma maneira de manter o controle dos sistemas à medida que permutamos a ordem dos kets, o que torna a matemática mais simples.

Primeiro, o vetor de estado quântico acima pode ser escrito alternativamente como

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 + \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\diamondsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\\ + \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0\\ - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0. \end{gathered}$$

Nada mudou, exceto pelo fato de que cada ket agora tem um subscrito que indica a qual sistema ele corresponde. Aqui usamos os subscritos $0,\ldots,4,$, mas os nomes dos próprios sistemas também podem ser usados (em uma situação em que temos nomes de sistemas como $\mathsf{X},$ $\mathsf{Y},$ e $\mathsf{Z},$, por exemplo).

Agora podemos reordenar os kets e coletar termos da seguinte forma:

$$\begin{aligned} & \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 + \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\diamondsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\\ & \quad + \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0\\ & \quad -\sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\\[2mm] & \hspace{1.5cm} = \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \biggl( \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0 \biggr)\\ & \hspace{1.5cm} \quad + \vert\diamondsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \biggl( \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 \biggr)\\ & \hspace{1.5cm} \quad + \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 \biggl( \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\biggr). \end{aligned}$$

Os produtos tensoriais ainda estão implícitos, mesmo quando são usados parênteses, como neste exemplo.

Para deixar claro sobre a permutação dos kets, os produtos tensores não são comutativos: se $\vert \phi\rangle$ e $\vert \pi \rangle$ são vetores, então, em geral, $\vert \phi\rangle\otimes\vert \pi \rangle$ é diferente de $\vert \pi\rangle\otimes\vert \phi \rangle,$ e o mesmo ocorre com os produtos tensores de três ou mais vetores. Por exemplo, $\vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle$ é um vetor diferente de $\vert\heartsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle.$ A reordenação dos kets, como acabamos de fazer, não deve ser interpretada como uma sugestão em contrário.

Em vez disso, para fins de cálculos, estamos simplesmente tomando a decisão de que é mais conveniente reunir os sistemas como $(\mathsf{X}_4,\mathsf{X}_2,\mathsf{X}_3,\mathsf{X}_1,\mathsf{X}_0)$ em vez de $(\mathsf{X}_4,\mathsf{X}_3,\mathsf{X}_2,\mathsf{X}_1,\mathsf{X}_0).$ Os subscritos nos kets servem para manter tudo em ordem, e podemos voltar à ordem original mais tarde, se quisermos.

Agora vemos que, se os sistemas $\mathsf{X}_4$ e $\mathsf{X}_2$ forem medidos, as probabilidades (diferentes de zero) dos diferentes resultados são as seguintes:

• O resultado da medição $(\heartsuit,\diamondsuit)$ ocorre com probabilidade

$$\biggl\| \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0 \biggr\|^2 = \frac{1}{7} + \frac{2}{7} = \frac{3}{7}$$

• O resultado da medição $(\diamondsuit,\diamondsuit)$ ocorre com probabilidade

$$\biggl\| \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 \biggr\|^2 = \frac{2}{7}$$

• O resultado da medição $(\spadesuit,\clubsuit)$ ocorre com probabilidade

$$\biggl\| \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 \biggr\|^2 = \frac{1}{7} + \frac{1}{7} = \frac{2}{7}.$$

Se o resultado da medição for $(\heartsuit,\diamondsuit),$, por exemplo, o estado resultante de nossos cinco sistemas será

$$\begin{aligned} & \vert \heartsuit\rangle_4 \vert \diamondsuit \rangle_2 \otimes \frac{ \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 - i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0} {\sqrt{\frac{3}{7}}}\\ & \qquad = \sqrt{\frac{1}{3}} \vert \heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert \diamondsuit \rangle_2\vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{3}} \vert \heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert \diamondsuit \rangle_2\vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0. \end{aligned}$$

Aqui, para a resposta final, voltamos à nossa ordem original dos sistemas, apenas para ilustrar que podemos fazer isso. Para os outros resultados de medição possíveis, o estado pode ser determinado de maneira semelhante.

Por fim, aqui estão dois exemplos prometidos anteriormente, começando com o estado GHZ

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 000\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 111\rangle.$$

Se apenas o primeiro sistema for medido, obteremos o resultado $0$ com probabilidade $1/2,$, caso em que o estado dos três qubits se torna $\vert 000\rangle;$ e também obteremos o resultado $1$ com probabilidade $1/2,$, caso em que o estado dos três qubits se torna $\vert 111\rangle.$

Para um estado W, por outro lado, supondo novamente que apenas o primeiro sistema seja medido, começamos escrevendo esse estado da seguinte forma:

$$\begin{aligned} & \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 001\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 010\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 100\rangle \\ & \qquad = \vert 0 \rangle \biggl( \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 10\rangle\biggr) + \vert 1 \rangle \biggl(\frac{1}{\sqrt{3}}\vert 00\rangle\biggr). \end{aligned}$$

A probabilidade de que uma medição do primeiro qubit resulte no resultado 0 é, portanto, igual a

$$\biggl\| \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 10\rangle \biggr\|^2 = \frac{2}{3},$$

e condicionado à medição que produz esse resultado, o estado quântico dos três qubits se torna

$$\vert 0\rangle\otimes \frac{ \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 10\rangle }{ \sqrt{\frac{2}{3}} } = \vert 0\rangle \biggl(\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10\rangle \biggr) = \vert 0\rangle\vert \psi^+\rangle.$$

A probabilidade de que o resultado da medição seja 1 é $1/3,$. Nesse caso, o estado dos três qubits se torna $\vert 100\rangle.$

O estado W é simétrico, no sentido de que ele não muda se permutarmos os qubits. Portanto, obtemos uma descrição semelhante para medir o segundo ou terceiro qubit em vez do primeiro.

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Operações unitárias

Em princípio, qualquer matriz unitária cujas linhas e colunas correspondam aos estados clássicos de um sistema representa uma operação quântica válida nesse sistema. Isso, é claro, permanece verdadeiro para sistemas compostos, cujos conjuntos de estados clássicos são produtos cartesianos dos conjuntos de estados clássicos dos sistemas individuais.

Concentrando-nos em dois sistemas, se $\mathsf{X}$ é um sistema que tem o conjunto de estados clássicos $\Sigma,$ e $\mathsf{Y}$ é um sistema que tem o conjunto de estados clássicos $\Gamma,$, então o conjunto de estados clássicos do sistema conjunto $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ é $\Sigma\times\Gamma.$. Portanto, as operações quânticas nesse sistema conjunto são representadas por matrizes unitárias cujas linhas e colunas são colocadas em correspondência com o conjunto $\Sigma\times\Gamma.$ A ordenação das linhas e colunas dessas matrizes é a mesma que a ordenação usada para os vetores de estado quântico do sistema $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$

Por exemplo, suponha que $\Sigma = \{1,2,3\}$ e $\Gamma = \{0,1\},$ e lembre-se de que a convenção padrão para ordenar os elementos do produto cartesiano $\{1,2,3\}\times\{0,1\}$ é a seguinte:

$$(1,0),\;(1,1),\;(2,0),\;(2,1),\;(3,0),\; (3,1).$$

Aqui está um exemplo de uma matriz unitária que representa uma operação em $(\mathsf{X},\mathsf{Y}):$

$$U = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{i}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{i}{2} \\[2mm] \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{1}{2} \\[2mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[2mm] \frac{1}{2} & -\frac{i}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{i}{2} \\[2mm] 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \end{pmatrix}.$$

Essa matriz unitária não é especial, é apenas um exemplo. Para verificar se $U$ é unitário, basta calcular e verificar que $U^{\dagger} U = \mathbb{I},$, por exemplo. Como alternativa, podemos verificar se as linhas (ou as colunas) são ortonormais, o que é mais simples nesse caso, dada a forma específica da matriz $U.$

A ação de $U$ no vetor de base padrão $\vert 1, 1 \rangle,$, por exemplo, é

$$U \vert 1, 1\rangle = \frac{1}{2} \vert 1, 0 \rangle + \frac{i}{2} \vert 1, 1 \rangle - \frac{1}{2} \vert 2, 0 \rangle - \frac{i}{2} \vert 3, 0\rangle,$$

que podemos ver examinando a segunda coluna de $U,$, considerando nossa ordenação do conjunto $\{1,2,3\}\times\{0,1\}.$

Como em qualquer matriz, é possível expressar $U$ usando a notação de Dirac, o que exigiria 20 termos para as 20 entradas não nulas de $U.$ No entanto, se escrevêssemos todos esses termos, em vez de escrever uma matriz $6\times 6$, isso seria confuso e os padrões evidentes da expressão da matriz provavelmente não seriam tão claros. Simplificando, a notação de Dirac nem sempre é a melhor opção.

As operações unitárias em três ou mais sistemas funcionam de maneira semelhante, com as matrizes unitárias tendo linhas e colunas correspondentes ao produto cartesiano dos conjuntos de estados clássicos dos sistemas. Já vimos um exemplo nesta lição: a operação de três qubits

$$\sum_{k = 0}^{7} \vert (k+1) \bmod 8 \rangle \langle k \vert,$$

onde os números em bras e kets significam suas codificações binárias de $3$ -bit. Além de ser uma operação determinística, essa também é uma operação unitária. As operações que são tanto determinísticas quanto unitárias são chamadas de operações reversíveis. A transposição conjugada dessa matriz pode ser escrita da seguinte forma:

$$\sum_{k = 0}^{7} \vert k \rangle \langle (k+1) \bmod 8 \vert = \sum_{k = 0}^{7} \vert (k-1) \bmod 8 \rangle \langle k \vert.$$

Isso representa o inverso, ou, em termos matemáticos, o inverso da operação original - que é o que esperamos da transposição conjugada de uma matriz unitária. Veremos outros exemplos de operações unitárias em vários sistemas à medida que a aula continuar.

Operações unitárias realizadas de forma independente em sistemas individuais

Quando as operações unitárias são realizadas de forma independente em uma coleção de sistemas individuais, a ação combinada dessas operações independentes é descrita pelo produto tensorial das matrizes unitárias que as representam. Ou seja, se $\mathsf{X}_{0},\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ são sistemas quânticos, $U_0,\ldots, U_{n-1}$ são matrizes unitárias que representam operações nesses sistemas, e as operações são realizadas independentemente nos sistemas, a ação combinada em $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0)$ é representada pela matriz $U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0.$ Mais uma vez, descobrimos que as configurações probabilísticas e quânticas são análogas nesse aspecto.

Naturalmente, ao ler o parágrafo anterior, seria de se esperar que o produto tensorial de qualquer conjunto de matrizes unitárias fosse unitário. De fato, isso é verdade, e podemos verificar isso da seguinte forma.

Observe primeiro que a operação de transposição conjugada satisfaz

$$(M_{n-1} \otimes \cdots \otimes M_0)^{\dagger} = M_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes M_0^{\dagger}$$

para quaisquer matrizes escolhidas $M_0,\ldots,M_{n-1}.$ Isso pode ser verificado voltando à definição do produto tensorial e da transposição conjugada e verificando se cada entrada dos dois lados da equação está de acordo. Isso significa que

$$(U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0)^{\dagger} (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) = (U_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes U_0^{\dagger}) (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0).$$

Como o produto tensorial de matrizes é multiplicativo, descobrimos que

$$(U_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes U_0^{\dagger}) (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) = (U_{n-1}^{\dagger} U_{n-1}) \otimes \cdots \otimes (U_0^{\dagger} U_0) = \mathbb{I}_{n-1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{I}_0.$$

Aqui escrevemos $\mathbb{I}_0,\ldots,\mathbb{I}_{n-1}$ para nos referirmos às matrizes que representam a operação de identidade nos sistemas $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1},$, o que significa que essas são matrizes de identidade cujos tamanhos correspondem ao número de estados clássicos de $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}.$

Por fim, o produto tensorial $\mathbb{I}_{n-1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{I}_0$ é igual à matriz identidade para a qual temos um número de linhas e colunas que coincide com o produto do número de linhas e colunas das matrizes $\mathbb{I}_{n-1},\ldots,\mathbb{I}_0.$ Essa matriz de identidade maior representa a operação de identidade no sistema conjunto $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0).$

Em resumo, temos a seguinte sequência de igualdades:

$$\begin{aligned} & (U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0)^{\dagger} (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) \\ & \quad = (U_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes U_0^{\dagger}) (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) \\ & \quad = (U_{n-1}^{\dagger} U_{n-1}) \otimes \cdots \otimes (U_0^{\dagger} U_0)\\ & \quad = \mathbb{I}_{n-1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{I}_0\\ & \quad = \mathbb{I}. \end{aligned}$$

Portanto, concluímos que o site $U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0$ é unitário.

Uma situação importante que surge com frequência é aquela em que uma operação unitária é aplicada a apenas um sistema - ou a um subconjunto adequado de sistemas - em um sistema conjunto maior. Por exemplo, suponha que $\mathsf{X}$ e $\mathsf{Y}$ sejam sistemas que podemos ver juntos como formando um sistema único e composto $(\mathsf{X},\mathsf{Y}),$ e que realizemos uma operação apenas no sistema $\mathsf{X}.$ Para ser mais preciso, suponhamos que $U$ seja uma matriz unitária que representa uma operação em $\mathsf{X},$, de modo que suas linhas e colunas tenham sido colocadas em correspondência com os estados clássicos de $\mathsf{X}.$

Dizer que realizamos a operação representada por $U$ apenas no sistema $\mathsf{X}$ implica que não fazemos nada em $\mathsf{Y},$, o que significa que realizamos independentemente $U$ em $\mathsf{X}$ e a operação de identidade em $\mathsf{Y}.$ Ou seja, "não fazer nada" em $\mathsf{Y}$ é equivalente a realizar a operação de identidade em $\mathsf{Y},$, que é representada pela matriz identidade $\mathbb{I}_\mathsf{Y}.$ (Aqui, a propósito, o subscrito $\mathsf{Y}$ nos diz que $\mathbb{I}_\mathsf{Y}$ se refere à matriz de identidade com um número de linhas e colunas de acordo com o conjunto de estados clássicos de $\mathsf{Y}.$ ) A operação em $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ que é obtida quando executamos $U$ em $\mathsf{X}$ e não fazemos nada em $\mathsf{Y}$ é, portanto, representada pela matriz unitária

$$U \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}}.$$

Por exemplo, se $\mathsf{X}$ e $\mathsf{Y}$ forem qubits, realizar uma operação Hadamard em $\mathsf{X}$ e não fazer nada em $\mathsf{Y}$ é equivalente a realizar a operação

$$H \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$$

no sistema conjunto $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$

De forma semelhante, se uma operação representada por uma matriz unitária $U$ for aplicada a $\mathsf{Y}$ e nada for feito a $\mathsf{X},$, a operação resultante em $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ será representada pela matriz unitária

$$\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes U.$$

Por exemplo, se considerarmos novamente a situação em que tanto $\mathsf{X}$ quanto $\mathsf{Y}$ são qubits e $U$ é uma operação Hadamard, a operação resultante em $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ é representada pela matriz

$$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}.$$

Nem toda operação unitária em uma coleção de sistemas pode ser escrita como um produto tensorial de operações unitárias como essa, assim como nem todo vetor de estado quântico desses sistemas é um estado de produto. Por exemplo, nem a operação de troca nem a operação controlada-NOT em dois qubits, que são descritas abaixo, podem ser expressas como um produto tensorial de operações unitárias.

A operação de swap

Para concluir a lição, vamos dar uma olhada em duas classes de exemplos de operações unitárias em vários sistemas, começando com a operação de troca.

Suponha que $\mathsf{X}$ e $\mathsf{Y}$ sejam sistemas que compartilham o mesmo conjunto de estados clássicos $\Sigma.$ A operação de troca no par $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ é a operação que troca o conteúdo dos dos dois sistemas, mas que, por outro lado, deixa os sistemas em paz - de modo que $\mathsf{X}$ permanece à esquerda e $\mathsf{Y}$ permanece à direita. Denotaremos essa operação como $\operatorname{SWAP},$ e ela funciona da seguinte forma para cada escolha de estados clássicos $a,b\in\Sigma:$

$$\operatorname{SWAP} \vert a \rangle \vert b \rangle = \vert b \rangle \vert a \rangle.$$

Uma maneira de escrever a matriz associada a essa operação usando a notação de Dirac é a seguinte:

$$\mathrm{SWAP} = \sum_{c,d\in\Sigma} \vert c \rangle \langle d \vert \otimes \vert d \rangle \langle c \vert.$$

Pode não ficar imediatamente claro que essa matriz representa $\operatorname{SWAP},$, mas podemos verificar se ela satisfaz a condição $\operatorname{SWAP} \vert a \rangle \vert b \rangle = \vert b \rangle \vert a \rangle$ para cada escolha de estados clássicos $a,b\in\Sigma.$ Como um exemplo simples, quando $\mathsf{X}$ e $\mathsf{Y}$ são qubits, descobrimos que

$$\operatorname{SWAP} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Operações unitárias controladas

Agora vamos supor que $\mathsf{Q}$ seja um qubit e que $\mathsf{R}$ seja um sistema arbitrário, com qualquer conjunto de estados clássicos que desejarmos clássico que desejarmos. Para cada operação unitária $U$ atuando no sistema $\mathsf{R},$, uma operação controlada$U$ é uma operação unitária no par $(\mathsf{Q},\mathsf{R})$ definida da seguinte forma:

$$CU = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{R}} + \vert 1\rangle \langle 1\vert \otimes U.$$

Por exemplo, se $\mathsf{R}$ também for um qubit, e considerarmos a operação Pauli $X$ em $\mathrm{R},$ então uma operação controlada - $X$ é dada por

$$CX = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{R}} + \vert 1\rangle \langle 1\vert \otimes X = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

Já encontramos essa operação no contexto de informações clássicas e operações probabilísticas anteriormente nesta lição. A substituição da operação Pauli $X$ em $\mathsf{R}$ por uma operação $Z$ resulta nessa operação:

$$CZ = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{R}} + \vert 1\rangle \langle 1\vert \otimes Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

Se, em vez disso, considerarmos $\mathsf{R}$ como dois qubits e considerarmos $U$ como a operação de troca entre esses dois qubits, obteremos essa operação:

$$\operatorname{CSWAP} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Essa operação também é conhecida como operação Fredkin ou, mais comumente, porta Fredkin. Sua ação nos estados de base padrão pode ser descrita da seguinte forma:

$$\begin{aligned} \operatorname{CSWAP} \vert 0 b c \rangle & = \vert 0 b c \rangle \\[1mm] \operatorname{CSWAP} \vert 1 b c \rangle & = \vert 1 c b \rangle \end{aligned}$$

Por fim, uma operação NOT controlada-controlada, que podemos denotar como $CCX,$, é chamada de operação Toffoli ou porta Toffoli. Sua representação matricial é a seguinte:

$$CCX = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

Como alternativa, podemos expressá-lo usando a notação de Dirac da seguinte forma:

$$CCX = \bigl( \vert 00 \rangle \langle 00 \vert + \vert 01 \rangle \langle 01 \vert + \vert 10 \rangle \langle 10 \vert \bigr) \otimes \mathbb{I} + \vert 11 \rangle \langle 11 \vert \otimes X.$$