動的MPF

setup_dynamic_lse(trotter_steps, time, identity_factory, exact_evolver_factory, approx_evolver_factory, initial_state)

動的 MPF 係数を計算するための一次方程式系を返す。

この関数は DynamicMPF グラム行列の成分を計算するアルゴリズム（LSE.A、 [1] と [2] の $M$ ）と重なりベクトル（LSE.b提供された時間発展パラメータについては、 [1] と [2] の $L$。

グラム行列の要素、 $M_{ij}$、およびオーバーラップベクトル、 $L_i$ は以下のように定義される

ここで、 $\rho(t)$ は時刻 $t$ における正確な時間発展状態であり、 $\rho_{k_i}(t)$ は $k_i$ トロッターステップを用いて近似された時間発展状態である。

$M$、 $L$、動的な（つまり、時間に依存する）MPF係数を計算することは、次式の解を見つけることに等しい。 LSE (の解を求めることになる（MPF係数の計算方法と同様）。 static MPF係数の計算方法と同様）の解を求めることになります。一方、すべての係数の和は1でなければならないという制約（ $\sum_i x_i = 1$ ）を強制します。この制約は、（静的な場合とは異なり）このLSEの一部として強制されるものではありません。 この追加制約を含む最適化問題は costs モジュールに記述されている。 [1] と [2] で示唆されているのは setup_frobenius_problem()。

すべての要素 $M_{ij}$、 $L_i$ を評価するには、2つの時間発展状態の重なりを計算する必要がある。 この DynamicMPF アルゴリズムは、オプションの依存関係の1つによって提供されるテンソルネットワーク計算によってこれを行う。 利用可能なバックエンドの一覧と詳細については backends モジュールにあります。

以下に quimb_tebd を使った例を示します。 各要素について簡単に説明する。

まず、時間発展させたい単純なハイゼンベルグ・ハミルトニアンを初期化する。 に基づくタイム・エボルバを使っているので、ハミルトニアンもそのライブラリを使って初期化する。 quimbをベースにしているので、ハミルトニアンもそのライブラリを使って初期化する。

>>> from quimb.tensor import ham_1d_heis
>>> num_qubits = 10
>>> hamil = ham_1d_heis(num_qubits, 0.8, 0.3, cyclic=False)

次に、MPFを構成するトロッターステップ数、目標進化時間、初期状態を定義する（ $\psi_{in}$ in [1], $\psi_0$ in [2], resp） を基準にして、時間発展状態間の重なりを計算する。 ここでは、単にネール状態を使用する。 quimb:

>>> trotter_steps = [3, 4]
>>> time = 0.9

>>> from quimb.tensor import MPS_neel_state
>>> initial_state = MPS_neel_state(num_qubits)

すべての要素を計算するために DynamicMPF$M_{ij}$ $L_i$ の各要素を計算するための完全なアルゴリズムを実行しなければならないので、インスタンスの入力引数を初期化するためのファクトリーメソッドを提供しなければならない。 DynamicMPF インスタンスの入力引数を初期化する そのためには、3つの機能を提供しなければならない。 これらを構築するには functools.partial() 関数を使う。

>>> from functools import partial

まず、空の時間発展状態を初期化する関数が必要だ（詳細は DynamicMPF.evolution_state も参照）。 このコンストラクタ関数は、位置引数やキーワード引数を取ることはできず、必ず State オブジェクトを返さなければなりません。

>>> from qiskit_addon_mpf.backends.quimb_tebd import MPOState
>>> from quimb.tensor import MPO_identity
>>> identity_factory = lambda: MPOState(MPO_identity(num_qubits))

2番目と3番目の関数は、左辺と右辺の時間進化エンジンを構築しなければならない（以下も参照のこと DynamicMPF.lhs と DynamicMPF.rhs を参照)。 これらの関数は ExactEvolverFactory と ApproxEvolverFactory プロトコルに従うべきである。

この ExactEvolverFactory 関数は State この関数は、唯一の位置引数として Evolver オブジェクトを返さなければならない。このオブジェクトは $L_i$ 要素のLHSを計算するのに使われる（つまり、正確な時間発展状態、 $\rho(t)$ を生成しなければならない）。

ここでは、4次のSuzuki-Trotter式を用いて、 0.05 の小さな時間ステップで正確な時間発展状態を近似する。 また quimb-また、基礎となるテンソルネットワークの最大結合次元と、分割されたテンソルネットワークの結合の最小特異値を制限するために、いくつかの特定の切り捨てオプションを指定する。

>>> from qiskit_addon_mpf.backends.quimb_tebd import TEBDEvolver
>>> exact_evolver_factory = partial(
...     TEBDEvolver,
...     H=hamil,
...     dt=0.05,
...     order=4,
...     split_opts={"max_bond": 10, "cutoff": 1e-5},
... )

この ApproxEvolverFactory 関数はまた、唯一の位置引数として State オブジェクトを唯一の位置引数として取り、さらに dt というキーワード引数を取り、時間発展の時間ステップを指定する。 また Evolver$\rho_{k_i}(t)$ ここで、 $k_i$ は、選択された時間ステップ、 dt によって決定されます。 これらのインスタンスは、 $L_i$ のRHSと $M_{ij}$ 要素の両辺の計算に使われる。

ここでは、前回と同じ切り捨て設定で2次のSuzuki-Trotter式を使用する。

>>> approx_evolver_factory = partial(
...     TEBDEvolver,
...     H=hamil,
...     order=2,
...     split_opts={"max_bond": 10, "cutoff": 1e-5},
... )

最後に setup_dynamic_lse() 関数を実行して LSE を得る。

>>> from qiskit_addon_mpf.dynamic import setup_dynamic_lse
>>> lse = setup_dynamic_lse(
...     trotter_steps,
...     time,
...     identity_factory,
...     exact_evolver_factory,
...     approx_evolver_factory,
...     initial_state,
... )
>>> print(lse.A)  
[[1.         0.99998513]
 [0.99998513 1.        ]]
>>> print(lse.b)  
[1.00001585 0.99998955]

パラメーター

• trotter_steps (list[int]) – 使用するトロッターステップの順序。
• time (float) – ターゲットの総進化時間。
• identity_factory (IdentityStateFactory) – 空の State オブジェクトを生成する。
• exact_evolver_factory (ExactEvolverFactory) – インスタンスを初期化する関数。 Evolver$\rho(t)$ インスタンスを初期化する関数である。
• approx_evolver_factory (ApproxEvolverFactory) – インスタンスを初期化する関数。 Evolver インスタンスを初期化する関数である。この関数は、提供された時間ステップ、 dt に応じて、 $k_i$ の異なる値に対して、近似的な時間発展状態、 $\rho_{k_i}(t)$ を生成する。
• initial_state (Any) – の要素 $M_{ij}$ および $\psi_0$ を計算するための初期状態 ( $\psi_{in}$ または )。 LSE.A および $L_i$ LSE.b. このオブジェクトの型は、前の引数で選んだテンソルネットワークバックエンドと一致しなければならない。

戻り値

は LSE を使って、前述のようにダイナミックMPF係数を求める。

戻りの型

LSE

参考文献

[1] : S. Zhukら、 フィジーク。 Rev. Research 6, 033309 (2024).

https://journals.aps.org/prresearch/abstract/10.1103/PhysRevResearch.6.033309

[2] : N. ロバートソンら arXiv:2407.17405v2 (2024).

https://arxiv.org/abs/2407.17405v2